复杂度分析

大 O 复杂度表示法

假设每行代码执行的时间都一样,为 unit_time,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

我们依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢? 第 2、3、4 行代码,每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间,第 5、6 行代码循环执行了 n 遍,需要 2n * unit_time 的执行时间,第 7、8 行代码循环执行了 n2遍,所以需要 2n^2 * unit_time 的执行时间。所以,整段代码总的执行时间 T(n) = (2*n^2+2n+3)*unit_time。尽管我们不知道 unit_time 的具体值,但是通过这两段代码执行时间的推导过程,我们可以得到一个非常重要的规律,那就是,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。

1 T(n)=O(f(n))

我来具体解释一下这个公式。其中,T(n) 我们已经讲过了,它表示代码执行的时间;n 表示数据规模的大小;f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式,所以用 f(n) 来表示。公式中的 O,表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间,而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势,所以,也叫作渐进时间复杂度 (asymptotic time complexity),简称时间复杂度。

当 n 很大时,你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势,所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了,如果用大 O 表示法表示刚讲的那段代码的时间复杂度,就可以记为: T(n) = O(n^2)。

时间复杂度分析

1.只关注循环执行次数最多的一段代码 2.加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

 1int cal(int n) {
 2  int sum_1 = 0;
 3  intp=1;
 4  for(;p<100;++p){
 5        sum_1 = sum_1 + p;
 6    }
 7  for(;q<n;++q){
 8      sum_2 = sum_2 + q;
 9 }
10 int sum_3 = 0;
11 int i=1;
12 int j=1;
13 for(;i<=n;++i){
14         j = 1;
15        for (; j <= n; ++j) {
16            sum_3=sum_3+ i*j;
17        }
18}
19    return sum_1 + sum_2 + sum_3;
20}

这个代码分为三部分,分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度,然后把它们放到一块儿,再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。第一段的时间复杂度是多少呢?这段代码循环执行了 100 次,所以是一个常量的执行时间,跟 n 的规模无关。

这里我要再强调一下,即便这段代码循环 10000 次、100000 次,只要是一个已知的数, 跟 n 无关,照样也是常量级的执行时间。当 n 无限大的时候,就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响,但是回到时间复杂度的概念来说,它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势,所以不管常量的执行时间多大,我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢?答案是 O(n) 和 O(n^2),你应该能容易就分析出来,我就不啰嗦了。综合这三段代码的时间复杂度,我们取其中最大的量级。所以,整段代码的时间复杂度就为 O(n^2)。也就是说:总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是:

如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么

1T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

3. 乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

对于刚罗列的复杂度量级,我们可以粗略地分为两类,多项式量级和非多项式量级。其中,非多项式量级只有两个:O(2n) 和 O(n!)。当数据规模 n 越来越大时,非多项式量级算法的执行时间会急剧增加,求解问题的执行时间会无限增长。所以,非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此,关于 NP 时间复杂度我就不展开讲了。我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。

1. O(1)

1 int i=8; 
2 int j=6; 
3 int sum=i+j;

我稍微总结一下,只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长,这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说,一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是Ο(1)。

2. O(logn)、O(nlogn)

1i=1;
2while(i<=n) { 
3    i=i*2; 
4}

1i=1;
2while(i<=n) { 
3    i=i*3; 
4}

3. O(m+n)、O(m*n)

从代码中可以看出,m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大,所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。所以,上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。针对这种情况,原来的加法法则就不正确了,我们需要将加法规则改为:T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m)T2(n) = O(f(m) f(n))。

空间复杂度分析

前面我讲过,时间复杂度的全称是渐进时间复杂度,表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下,空间复杂度全称就是渐进空间复杂度(asymptotic space complexity),表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

跟时间复杂度分析一样,我们可以看到,第 2 行代码中,我们申请了一个空间存储变量 i,但是它是常量阶的,跟数据规模 n 没有关系,所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组,除此之外,剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 ),像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且,空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以,对于空间复杂度,掌握刚我说的这些内容已经足够了。